Sistema Masa-Resorte-Amortiguador y simulación en Matlab (Simulink)
Escriba la ecuación diferencial del siguiente sistema:
f=-kx-c(x-y)-mx+f(t)=0
Lo primero que debemos hacer es formular el diagrama de cuerpo libre.
Se tienen tres fuerzas interactuando en el sistema, la fuerza del resorte, la fuerza del amortiguador y la fuerza desarrollado por la masa. (diagrama ubicado a la derecha)
La fuerza del resorte es el desplazamiento en x.
En el diagrama mostrado, notamos que tenemos 4 nodos.
Cuando se habla de tierra, no hay movimiento, entonces podemos eliminarla.
La fuerza que deforma al resorte seria (K*X)-(k*W)
La fuerza que se necita para desplazar a la masa debe ser igual a la masa por la aceleración que experimenta la masa. (Doble derivada de x).
Fc=c(x-y) El amortiguador= su constante de fluido
F=m*x La fuerza de la masa=m * segunda derivada del desplazamiento x
Fk=k(x-0) La fuerza del resorte=k* desplazamiento en x- el desplazamiento en 0
Posteriormente se hace la sumatoria de fuerzas.
f=-kx-c(x-y)-mx+f(t)=0Si f(t)=0, entonces:
kx+cx+mx=cy
Modelo vertical
Las masas se ven afectadas por la gravedad.
El resorte tiene acoplada una masa, al interactuar las gravedad sobre la masa, el resorte experimenta una deformación, es decir, hay fuerza en el resorte. Su diagrama de cuerpo libre se representa en la ilustración derecha.
Para desplazar a la masa necesitamos la masa por la aceleración y la fuerza en el resorte mas la deformación de deformación y eso nos debe dar igual a cero.
La ecuación que describe al sistema es:
Kx+mx=0 (ecuación diferencial de segundo orden)
La función esta representada por x.
Despejando la doble deriva, nos quedaría:
X=-(k/m)x
Para esto tenemos dos soluciones:
x=Asin(bt)
x=Bcos(bt)
Haciendo todas la operaciones correspondientes, obtenemos:
-Bb^2cos(bt)=-k/m * Bbcos(bt)
b=Raíz de k/m
b es un factor de conversión que transforma el tiempo a grados (Frecuencia de la vibración)
El coseno opera con ángulos.
La solución general:
La frecuencia natural se define como las oscilaciones después de una perturbación y la desaparición de la misma.
La vibración se puede representar con la siguiente formula.
x=Asin(wnt)+Bcos(wnt)
Las condiciones iniciales son aplicadas en ecuaciones diferenciales que varían o no con el tiempo.
x0=A(0)+B(1)
Para simular en Matlab (Simulink), debemos abrir el programa y seleccionar el blank model.
Para ello necesitamos de nuestra ecuación:
X=-(k/m)x
Para empezar accedemos a la paleta de simulink, llamada continuous y agregamos dos integradores. Lo que entre en esto saldrá integrado.
Si integramos la doble derivada de x, como salida tenemos la primera derivada y si esa primera derivada la volvemos a integrar obtendremos la función original (x).
La función nos pide multiplicar -k/x por x, entonces nos dirigimos a operaciones matemáticas y agregamos: división. Después en sources agregamos dos constantes. (k, m)
Finalmente para visualizar nuestro valor agregaremos el osciloscopio.
Resultado visualizado en forma de gráfica.
Para la siguiente simulación, requerimos de una función senoidal, cosenoidal y constantes, teóricamente nos deberia dar los mismos resultados que la simulación anterior.
De la paleta agregaremos esas funciones ubicadas en sources y math operations.
Como se ve en la función, necesitamos también raíces cuadradas, divisiones, multiplicaciones.
Como se puede apreciar, efectivamente obtuvimos la misma gráfica a diferencia que el anterior arranca en 0 debido a la condición inicial en segundo integrador, correspondiendo a la segunda parte.
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